Fisiología
Modelo matemático unidimensional del efecto de la Calmodulina y SERCA en la difusión del Ca2+ citosólico en una célula de músculo liso.
Materiales y métodos
Para los experimentos computacionales realizados en este trabajo hemos considerado una línea de 2µm de largo ubicada sobre una parte de la membrana del RS como lo muestra la Figura 1.
Figura 1: Modelos unidimensionales para el esquema de “disparo” de 1, 2 y 3 canales de RyR
La [Ca2+] citosólica basal que se utilizó fue de 1,19x10-4 (mol/m3)(11). Se pueden observar los escenarios unidimensionales para el esquema de “disparo” de 1, 2 y 3 canales de RyR -o equivalentemente IP3- (Figura 2), y la ubicación del eje x sobre una parte de la membrana del RS donde se encuentra nuestro dominio unidimensional de observación para la dinámica espacio-temporal de la [Ca2+].
Figura 2: Esquemas de “disparo” de 1, 2 y 3 canales de RyR
La ecuación en derivadas parciales de difusión–reacción gobernante en el dominio unidimensional es:
Esta ecuación fue resuelta numéricamente usando COMSOL 3.4®. En esta EDP los símbolos tienen el siguiente significado:
Ñ : Operador gradiente.
δts: Coeficiente de escalado temporal. Este coeficiente es normalmente de 1. Si se desea, se puede cambiar la escala de tiempo, por ejemplo, de segundos a minutos estableciéndose en 1 / 60.
D: Coeficiente de Difusión. En este trabajo es un escalar que no depende de la posición y del tiempo.
R: Tasa de reacción. Se consideran reacciones que incluyen las siguientes fuentes o sumideros:
1. JSERCA: representa una expresión matemática que considera la acción de las bombas Ca-ATP-ásicas ubicadas en toda la superficie de la membrana del RS. En este trabajo se representó por una ecuación de Michaelis-Menten(12,13) , no obstante, también puede usarse una ecuación tipo Hill(14) (denominada también Michaelis-Menten generalizada). Es un término tipo sumidero. En este trabajo se modeló como una única bomba que representa el equivalente de las muchísimas bombas elementales ubicadas en la membrana del RS.
2. JFUGA: es una expresión matemática que se incluye para que la concentración basal citosólica de Ca2+ no alcance valores inferiores a su valor basal. Es un artificio para anular JSERCA cuando la [Ca2+] citosólica alcanza su valor basal. Este artificio tiene justificación fisiológica puesto que normalmente la [Ca2+] citosólica durante la relajación nunca alcanza valores inferiores al basal. Este efecto inhibitorio sobre SERCA realmente existe y es regulado por la defosforilación del fosfolambano o moléculas equivalentes, y nos permite inferir que JSERCA efectivo es el que se obtiene de la suma de JSERCA y JFUGA. Es un término tipo fuente para el ión calcio citosólico.
3. Disparo de RyR2 (ubicado en x = 0.5 µm) y RyR3 (ubicado en x = 1.5 µm). Son términos tipo fuente para el ión calcio citosólico.
Las condiciones de borde impuestas son del tipo Neumann homogéneas(15), es decir, se impone la condición de flujo nulo en los bordes del dominio.
La condición inicial del modelo se representa como:
RyR(1) representa el disparo inicial del canal central de RyR, que representaremos matemáticamente mediante la delta de Dirac(16):
RyR(1) = A δ(x-x0)
centrada en el centro del canal, pero utilizar esta expresión matemática genera problemas computacionales, entre otros, inestabilidades y artefactos en la solución numérica por lo cual usamos la representación gaussiana(17,18) de la delta de Dirac, por tanto la condición inicial se representará como:
En este trabajo supondremos que la activación del primer canal de RyR (o IP3) se debe al cambio conformacional en el canal tipo L (ubicado en el sarcolema) que ocurre cuando la onda despolarizante lo alcanza (“sensor voltaje”), y su acoplamiento mecánico con el canal de RyR (o IP3) permite la apertura de este último(4). Si se supone que el mecanismo dominante es el de calcio liberado por calcio(4), entonces se debe sustituir cbasal por el umbral de disparo (cumbral) del primer receptor que en principio debe ser mayor que cbasal, aún cuando debe ser considerada la dependencia con el retardo entre la elevación local y transiente de la [Ca2+] muy cerca del RyR (o IP3) y su apertura efectiva. La magnitud Ax fue seleccionada apropiadamente para liberar cantidades fisiológicas de iones Ca2+ hacia el citosol (Ver Cuadro 1) y σx fue seleccionada para cumplir la condición (σx/L) <<1 que confina apropiadamente la liberación a un intervalo muy estrecho del dominio centrado en x1.
 La Ecuación de Difusión-Reacción a resolver numéricamente por Comsol® (Elemento Finito) es la Ecuación en Derivadas Parciales (EDP):
Donde Kd= K-/K+, K- y K+ son las constantes de velocidad inversa y directa de la reacción Ca2+/Calmodulina, respectivamente y H(t) es la función escalón de Heaviside(16) y [H(t-a)-H(t-b)] indica que JRS es diferente de cero en el intervalo temporal [a,b]. H(t-a) representa la apertura del receptor-canal de RyR en t=a. Para obtener la ecuación (3) se han hecho las siguientes aproximaciones:
i. Cinética de buffer rápido, donde se considera que K+ y K- son muy grandes comparadas con el tiempo que tarda el Ca2+ en reaccionar con la Calmodulina.
ii. El coeficiente de difusión de la Calmodulina (Db) es mucho menor que la del Ca2+ (Dc).
Los valores de las constantes utilizadas se presentan en la Tabla 1. Se aplicó el método de Elemento Finito (EF) para lo cual se dividió el dominio en 30 elementos (segmentos) del tipo Lagrange-Cuadráticos, la tolerancia relativa fue de 0,01 y la absoluta de 0,001. Se aplicó la versión de Galerkin(8). La técnica del Elemento Finito en su versión Galerkin permite reducir una EDP a un sistema de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO) que al ser discretizadas (usando por ejemplo un esquema de Diferencia Finita) se convierte en un sistema de ecuaciones algebraicas que puede ser resuelto usando UMFPACK que es un el submódulo de COMSOL 3.4 â que realiza cálculos con grandes arreglos originalmente lineales o linealizados para encontrar la solución de dicho sistema. El usuario de COMSOL 3.4 â al ubicarse en el Módulo Multiphysics, tiene la opción de activar el paquete UMFPACK al hacer “clic” en la tecla correspondiente en una ventana llamada solver”. |
